MATEMATIKA INDONESIA

Fungsi Trigonometri 2

2011-11-20T20:18:00.004+07:00

sinus, cosinus, tangen dan cotangen memiliki hubungan sebagai berikut

Jadi,

sementara itu, secan dan cosecan memiliki hubungan sebagai berikut:

Perhatikan gambar

Perhatikan gambar

Menurut pythagoras berlaku :

Jika kedua ruas dibagi dengan r² maka diperoleh

Jika kedua ruas dibagi dengan cos² maka diperoleh

Jika kedua ruas pada persamaan (1) dibagi dengan sin² maka diperoleh

Turunan 3

2011-10-15T04:01:00.007+07:00

Contoh 4 :
Turunan pertama dari

adalah

Jawab :

contoh 5
Tetukan turunan pertama dari f(x) = sin x

Jawab :

Cara II :

Dengan memakai rumus

sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)

maka diperoleh

soal-soal logaritma

2011-10-09T05:33:00.006+07:00

Logaritma seringkali merupakan sesuatu yang kurang dipahami oleh anak-anak SMA. Hal ini penyebabnya adalah mereka jarang melatih diri dengan soal-soal yang setahap demi setahap (step by step). Untuk itu, di sini saya susun soal-soal logaritma mulai dari soal-soal yang sangat sederhana. Mudah-mudahan banyak bermanfaat bagi mereka yang mau belajar

1. ³log 9 = ...
2. ²log 16 = ...
3. ⁵log 125 = ...
4.
5.
6. ⁵log 1 = ...
7. ¹¹log 1 = ...
8. log 100 = ...
9. log 1000 = ...
10. log 10.000 = ...
11. ⁴⁹ log 7 = ...
12. ⁸ log 2 = ...
13. ⁹log 27 = ...
14. ³²log 8 = ...
15.
16.
17.
18. ⁵log 4 + ⁵log 6,25 = ...
19. ³log 5 + ³log 32,4 + ³log 0,5 = ...
20. ⁷log 98 - ⁷log 2 = ...
21. ⁶log 8 + ⁶log 54 - log 2 = ...
22.
23.
24.
25.
26. ³log 16. ⁵log 125. ²log 243 = ...
27. ²⁵log 2⁷log 81 ³²log 625 = ...
28.
29.
30.

Pengertian Lingkaran

2011-10-06T09:25:00.006+07:00

Lingkaran adalah kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu.

Yang dimaksud titik tertentu di sini adalah titik pusat, sedangkan jaraknya sama di sini maksudnya adalah jari-jari lingkaran.

Misalkan diberikan sebuah lingkaran dengan pusat(0, 0) sebagai berikut

Dari gambar yang ada maka dapat disimpulkan dengan pythagoras sebagai berikut
x² + y² = R²

Jika lingkaran memiliki pusat (a, b) maka bisa digambar sebagai berikut

dengan menggunakan rumus pithagoras maka bisa diambil kesimpulan sebagai berikut

(x - a)² + (y - b)² = R²

Fungsi Trigonometri

2011-09-07T05:35:00.005+07:00

Trigonometri seringkali disebut dengan ilmu ukur segitiga. Sebutan tri dikarenakan ada tiga macam perbandingan pada sisi-sisi segitiga siku-siku. Nilai hasil perbandingan ini tentunya dipengaruhi oleh sudut-sudut pada segitiga siku-siku tersebut. Jadi bisa dikatakan, ini merupakan pemetaan dari nilai sudut menuju kepada perbandingan sisi-sisi segitiga. Karena berupa pemetaan maka seringkali disebut fungsi trigonometri. Ketiga perbandingan tersebut adalah sinus, cosinus dan tangen. Akan tetapi dalam perkembangannya ketiga perbandingan tersebut seringkali dibalik sehingga disebut secan, cosecant dan cotangen.

Ketiga sisi dalamsegitiga siku-siku seringkali disebut sisi miring, sisi depan dan sisi samping. Sisi miring merupakas sisi terpanjang dari segitiga siku-siku, atau sisi yang berada di depan segitiga siku-siku. Sisi yang lain selain sisi miring sering disebut sisi siku-siku. Untuk membedakan kedua sisi maka seringkali diberi nama sisi depan dan sisi samping. Sisi depan merupakan sisi yang berada di depan sudut yang akan kita hitung nilai fungsi trigonometrinya. Sisi samping merupakan sisi siku-siku yang berada di samping sudut yang akan kita hitung nilai fungsi trigonometrinya.

Sinus merupakan hasil perbandingan sisi depan dengan sisi miring, sedangkan cosinus merupakana perbandingan sisi samping dengan sisi miring. Tangen agak berbeda dengan keduanya karena tidak melibatkan sisi miring. Tangen merupakan perbandingan sisi depan dengan sisi samping.

untuk mempermudah mengingatnya maka seringkali ditulis
sinus : de-mi (perbadingan sisi depan dengan sisi miring)
cosinus : sa-mi (perbandingan sisi samping dengan sisi miring)
tangen : de-sa (perbandingan sisi depan dengan samping)

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

dari gambar diperoleh

kebalikan dari ini semua adalah cotangen, secant dan cosecant

lanjutan

Logaritma

2011-03-17T19:36:00.009+07:00

Definisi logaritma
Jika a^b = c maka b = ^alog c

Pada setiap bentuk ^alog c maka a disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan c disebut numerus. Basis harus positi, begitu juga dengan numerus. Akan tetapi ada sebuah tambahan, bahwa basis tidak boleh bernilai 1

Sift-sifat Logaritma
1. ^alog b + ^alog c = ^alog bc
2. ^alog b - ^alog c = ^alog b/c
3. ^alog bⁿ = n^alog b
4.
5.

Bukti sifat-sifat Logaritma :
nomor 1 :
a^x = b maka x =^alog b
a^y = c maka y =^alog c
Jika kedua ruas dikalikan maka diperoleh
a^x.a^y = bc
a^x+y = bc
x + y = ^alog bc
^alog b + ^alog c = ^alog bc

nomor 2:
Dari nomor 1 bisa diperoleh sebagai berikut :

a^x-y = b/c
x - y = ^alog (b/c)
^alog b - ^alog c = ^alog (b/c)

nomor 3 :
Dari sifat nomor 1
^alog b + ^alog b = ^alog b2
2^alog b = ^alog b2

dengan cara yang sama :
^alog b² + ^alog b = ^alog b².b
2^alog b + ^alog b = ^alog b³
3^alog b = ^alog b³

dengan cara yang sama juga:
^alog b³ + ^alog b = ^alog b³.b
3^alog b + ^alog b = ^alog b⁴
4^alog b = ^alog b⁴

dengan demikian bisa disimpulkan :
n^alog b = ^alog bⁿ
atau
^alog bⁿ = n^alog b

nomor 4 :
misal : ^alog b = x
maka b = a^x
Jika kedua ruas diberi logaritma dengan basis c maka
^clog b = ^clog a^x
dari sifat nomor 3 diperoleh
^clog b = x^clog a
maka

atau

nomor 5

nomor 6

nomor 7

nomor 8
Dari definisi diketahui
Jika a^b=c ..................(1)
maka b=^alog c ..............(2)

Dengan memasukkan c dari persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh
b=^alog a^b
atau
^alog a^b = b

nomor 9
Dari definisi logaritma diperoleh
Jika a^c=b ..................(1)
maka c=^alog b ..............(2)
Jika persamaan (20 dimasukkan ke persamaan pertama maka diperoleh

nomor 10
misal
Jika kedua ruas diberi logaritma dengan bilangan pokok b maka diperoleh

Jika kedua ruas dihilangkan logaritmanya maka

Dengan demikian

Persamaan kubik

2011-03-15T11:49:00.005+07:00

Persamaan kubik memiliki bntuk umum
ax³ + bx² + cx + d = 0
dengan a tidak nol

Untuk menyelesaikan persamaan ini ada 3 cara yaitu :
1. memfaktorkan
2. menyederhanakan menjadi bentuk persamaan kuadrat
3. rumus

Penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan
Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan untuk kasus-kasu yang sederhana

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - 6x = 0

Jawab :

x³ - x² - 6x = 0
x(x² - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}

Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - x + 1 = 0

Jawab :
x³ - x² - x + 1 = 0
x² (x - 1) - (x - 1)= 0
x² - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}

Contoh 3 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 9x + 18 = 0

Jawab :
x³ - 2x² - 9x + 18 = 0
x²(x - 2) - 9(x - 2) = 0
(x² - 9)(x - 2) = 0
(x + 3)(x - 3)(x - 2) = 0
x = -3 atau x = 3 atau x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-3, 2, 3}

Contoh 4 :
Himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 3x + 6 = 0 adalah

Jawab :
x³ - 2x² - 3x + 6 = 0
x²(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x² - 3)(x - 2) = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

Contoh 5 :

Himpunan penyelesaian dari 2x³ - x² + 4x - 2 = 0 adalah ...

Jawab :
2x³ - x² + 4x - 2 = 0
x²(2x - 1) + 2(2x - 1) = 0
(x² +2)(2x - 1) = 0
x² = -2 atau x = 1/2
x² = -2 tidak mungkin terjadi, jadi x yang memenuhi hanya 1/2, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1/2}

Penyelesaian gabungan antara pemfaktoran dan rumus ABC

Contoh 6
Himpunan penyelesaian dari persamaan x³ - 2x² - x = 0 adalah

Jawab :
x³ - 2x² - x = 0
x(x² - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x² - 2x - 1 = 0

Untuk bentuk x² - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

Untuk bentuk bentuk yang sulit difaktorkan, tetapi akar-akarnya masih rasional maka kita bisa menggunakan metoda horner, sedangkan jika akar-akarnya irasional maka kita gunakan metoda penyelesaian umum yang mengubah persamaan kubik menjadi persamaan kuadrat

Metoda horner

2011-03-14T01:34:00.002+07:00

Metoda horner merupakan metoda skematik dalam suku banyak. Pada bagian ini saya akan membahas metoda horner untuk menyelesaiakan persamaan kubik
Contoh :
Himpunan penyelesaian persamaan x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 adalah
Jawab :
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Jika kita bagi dengan x - 1 maka bisa kita kerjakan dengan metoda berikut :

Karena sisa = 0 maka persamaan bisa difaktorkan sebagai berikut :

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
x = 1 atau x = 2 atau x = 3
Jadi himpunan penyelesaiaannya adalah {1, 2, 3}

Penyelesaian Umum Persamaan Kubik

2011-02-28T19:59:00.010+07:00

Setiap persamaan kubik ax³+bx²+cx+d = 0 selalu bisa disederhanakan menjadi bentuk y³ + py + q = 0
Setelah kita memiliki bentuk yang sederhana ini, langkah berikutnya adalah substitusi nilai y dengan m - p/(3m) . Dengan mensubstitusikan nilai tersebut maka persamaan kubik akan bisa disederhanakan menjadi persamaan kuadrat. Langkah tersebut bisa kita lakukan sebagai berikut :
y³ + py + q = 0

Jika kedua ruas dikali dengan m³ maka diperoleh

Bentuk terakhir ini merupakan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam m³, sehingga kita tinggal memasukkan ke dalam rumus ABC .

Sesuatu yang muncul di bawah akar pada hasil terakhir ini kita sebut diskriminan, yaitu :

Adapun sifat-sifat diskriminan tersebut adalah sebagai berikut :
D > 0 maka persamaan kubik memiliki 1 akar real dan 2 akar tidak real
D = 0 maka persamaan kubik memiliki akar kembar (bisa 2 akar kembar atau 3 akar kembar)
D < 0 maka persamaan kubik akan memiliki tiga akar real

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³-6x²+9x-1= 0

Jawab :
Yang pertama kita lakukan aadlah substitusikan nilai x = y - b/(3a), sehingga dalam hal ini adalah x = y + 2. Dengan demikian persamaan menjadi :
(y + 2)³-6(y + 2)²+9(y + 2)-1= 0
y³ + 3y².2 + 3y.2² + 2³ - 6(y² + 4y + 4) + 9y + 18 - 1 = 0
y³ + 6y² + 12y + 8 - 6y² - 24y - 24 + 9y + 17 = 0
y³ - 3y + 1 = 0
Selanjutnya kita substitusikan nilai y = m - p/(3m) atau y = m + 1/m, dengan demikian kita peroleh :

Jika kedua ruas dikali m³ maka diperoleh :
m⁶ + 1 + m³ = 0
m⁶ + m³ + 1 = 0
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus ABC maka diperoleh :

Jika kita perhatikan, nilai D < 0, dengan demikian persamaan ini memiliki 3 akar real berbeda. Untuk memecahkan persamaan ini kita perlu memahami bilangan kompleks. bentuk di atas bisa ditulis sbb :

Jika kita tulis dalam bentuk polar maka kita bisa mengubah sebagai berikut :
m³ = cos 120^o + i sin 120^o atau m³ = cos 480^o + i sin 480^o atau m³ = cos 840^o + i sin 840^o
Dengan mengakarkan maka berarti kita tinggal membagi sudut dengan 3, maka diperoleh :
m₁ = cos 40^o + i sin 40^o atau m₂ = cos 160^o + i sin 160^o atau m₃ = cos 280^o + i sin 280^o
Karena

maka

Perhatikan bahwa

Dengan demikian

Dengan cara yang sama diperoleh

dan

karena
x = y + 2
maka
x₁ = y₁ + 2 = 2cos 40^o + 2
x₂ = y₂ + 2 = 2cos 160^o + 2
x₃ = y₃ + 2 = 2cos 280^o + 2
jadi himpunan penyelesaian dari persamaan x³-6x²+9x-1= 0 adalah
{2cos 40^o + 2, 2cos 160^o + 2, 2cos 280^o + 2}

Integral Trigonometri

2010-10-11T22:24:00.006+07:00

Integral Trigonometri merupakan hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Sebelum kita mencoba mengingat rumus-rumus integral triogonometri maka sebaiknya kita ingat dulu turunan trigonometri. Turunan trigonometri bisa kita tuliskan sebagai berikut
y = sin x maka y' = cos x
y = cos x maka y' = - sin x
y = tan x maka y' = sec² x
y = cot x maka y' = -csc² x
y = sec x maka y' = sec x tan x
y = csc x maka y' = -csc x cot x

Dengan demikian jika rumus-rumus ini kita balik akan menjadi

Rumus-rumus tersebut bisa dibuat lebih umum sebagai berikut

Untuk lebih jelasnya kita bisa membuktikan sebagai berikut
misalkan : y = ax + b
maka

Jadi :

Integral Substitusi 3

2010-10-01T08:57:00.003+07:00

Contoh 4
Hitunglah Integral Berikut

Jawab :
misal y = x² + 6x + 5
maka

sehingga

Jadi :

Contoh 5 :
Carilah hasil integral berikut

Jawab :
misal : y = x³-3x+5
sehingga

maka

Dengan demikian

materi sebelumnya

materi berikutnya (menyusul)

Rumus Praktis Matematika

2010-09-28T05:28:00.004+07:00

Hitunglah Limit Berikut :

Jawab :

Cara kedua
Sekarang kita gunakan rumus praktis matematika sebagai berikut

Jika anda ingin lebih banyak mendapatkan rumus praktis matematika, silakan klik di sini

Integral Substitusi 2

2010-09-23T19:58:00.003+07:00

Contoh 2 :

Jawab :
Misal y = x² + 8
maka

Sehingga

Maka

Contoh 3 :

Jawab :
misal y = x⁴ - 12
maka

Akibatnya

jadi

materi sebelumnya

materi berikutnya

Integral Substitusi

2010-08-14T06:52:00.005+07:00

Dalam pengintegralan kita sering kesulitan karena masalah fungsi, misalkan adanya pangkat yang tinggi, bentuk akar, serta fungsi-fungi trigonometri. Untuk itu maka digunakan penggantian, atau disebut substitusi. karena itulah pada langkah ini dilakukan pemisalan.

Contoh :

dari bentuk ini yang kita lakukan adalah dengan memisalkan
misal y = 3x - 4
maka

sehingga

Jadi, bentuk integral menjadi

contoh 2

misal :
y = x² + 6
maka

sehingga

Jadi :

materi sebelumnya

materi berikutnya

Turunan 2

2010-08-04T07:29:00.003+07:00

contoh 3
maka
sehingga :

contoh 3
maka

materi sebelumnya
materi berikutnya

Integral Tak Tentu 2

2010-08-03T07:13:00.001+07:00

Soal-soal Integral tak tentu

materi sebelumnya
materi berikutnya

Turunan

2010-08-02T07:06:00.002+07:00

Turunan seringkali didefinisikan dengan

Untuk lebih jelanya, tentukanlah turunandari fungsi-fungsi berikut :
1. f(x) = x²
2. f(x) = x³

Jawab :
untuk nomor 1 :
f(x) = x² maka f(x) = (x+ h) ² sehingga

dengan demikian turunan pertama dari f(x) = x² adalah f'(x) = 2x

Untuk nomor 2 bisa kita selesaikan sebagai berikut :
f(x) = x³ maka f(x) = (x+ h) ³ sehingga

f'(x) = 3x²+0+0 = 3x²
Jadi, jika f(x) = x³ maka f'(x) = 3x²

Dengan demikian kita bisa mengambil kesimpulah bahwa
Jika f(x) = xⁿ maka f'(x) = nx^n-1

materi berikutnya (pembahasan nomor 3 dan 4)

Integral Tak Tentu

2010-08-01T06:42:00.001+07:00

Integral sering desebut dengan anti turunan.Hal ini karena memang integral diperoleh dengan membalik turunan. Perhatikan hitungan berikut

y = x⁵ maka y' = 5x⁴
y = x⁵ + 2 maka y' = 5x⁴
y = x⁵ + 100 maka y' = 5x⁴
y = x⁵ - 100 maka y' = 5x⁴

Jika bentuk ini dibalik dari kanan ke kiri maka diperoleh

dengan c adalah konstanta yang besarnya tidak tentu. Sesuai dengan turunan di atas mungkin anda akan berfikir bahwa nilai c adalah 0, 2, 100, atau -100. Ya, ini tidak salah. karena banyaknya kemungkinan selain kemungkinan di atas maka akhirnya disepakati dengan memakai c saja.

Dari sini bisa diambil kesimpulan bahwa

dengan ketentuan
kenapa? Karena jika n = -1 maka penyebut di ruas kanan menjadi nol

Untuk n = -1 maka akan menjadi

dengan ln melambangkan logaritma natural.
ln x = ^elog x
dengan e = bilangan natural
Besarnya e adalah
e = 2,71828 .......
yang merupakan bilangan natural

Sifat-sifat integral tak tentu :

untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut

Persamaan Elips

2010-03-29T09:19:00.001+07:00

Elips memiliki persamaan sebaga beikut

Elips horizontal dengan pusat (0, 0) adalah

Elips vertikal dengan pusat (0, 0) adalah

Elips horizontal dengan pusat (α, β) adalah

Elips vertikal dengan pusat (α, β) adalah

Dengan ketentuan

1. Panjang sumbu mayor

= 2a

2. Panjang sumbu minor = 2b

3. a > b

4. a² = b² + c²

5. c = Jarak pusat ke fokus

Elips Matematika

2010-03-19T13:54:00.001+07:00

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya sama terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu tersebut adalah titik fokus.

Perhatikan gambar, F₁ dan F₂ adalah fokus. Meskipun P dipindah-pindah, selagi berada di ellips maka PF₁ + PF₂ selalu konstan.
Elips ini erat kaitannya dengan hukum-hukum yang ada di dalam fisika astronomi. Bahwasanya lintasan planet-planet berbentuk elips, dan matahari berada pada salah satu titik fokusnya

Rumus Kerucut

2010-02-28T05:04:00.001+07:00

Kerucut memiliki rumus –rumus sebagai berikut :

Luas pemmukaan = Luas alas + Luas sisi tegak

= πR² + 2πRs

= πR(R + s)

s = garis pelukis

dengan s² = R² + t²

Rumus volume kerucut

V = 1/3 luas alas x tinggi

= 1/3 πR² x t

R = jari-jari alas kerucut

t = tinggi kerucut

Rumus Luas Bola

2010-02-19T12:01:00.001+07:00

Sebuah bola yang berjari-jari R memiliki luas permukaan

L= 4πR²

sedangkan volumenya adalah

V = (4/3) πR³

Memang, ada hal yang mengherankan di sini, kenapa jika volume bola diturunkan terhadap jari-jari maka rumus ini berubah menjadi rumus luas permukaan bola.

Hal yang sama juga terjadi pada lingkaran. Tidak tahu kenapa jika luas lingkaran diturunkan terhadap jari-jari maka rumusnya berubah menjadi rumus keliling lingkaran.

Limas Segi Empat

2010-02-10T09:34:00.001+07:00

Limas merupakan bangun ruang dengan sisi alas berbentuk segi tertentu sedangakan sisi yang lainnya berupa segitiga, sedangkan limas segiempat adalah limas yang alasnya berupa segi empat.

Bentuk alas segi empat ini bisa berupa persegi, belah ketupat, layang-layang, persegi panjang, jajaran genjang, trapesium atau segi empat sembarang.

Beberapa soal-soal yang berkaitan dengan limas segi empat.

1. Diketahui limas segi empat memeiliki alas persegi panjang dengan ukuran 8 cm x 6 cm. Jika rusuk tegaknya 13 cm maka volume limas adalah

2. Limas T.ABCD memiliki alas berbentuk bujursangkar. Jika tinggi limas 20 cm dan pankang rusuk alas 5 cm maka cosinus sudut antara TAB dengan ABCD adalah

3. Diketahui limas segi empat beraturan memiliki rusuk a cm. Panjang jari jari bola yang terletak di dalam limas yang menyingung semua sisinya adalah ...

Rumus Kesebangunan

2010-01-29T15:38:00.003+07:00

Rumus-rumus kesebangunan sangat dibutuhkan dalam geometri, baik bidang datar maupun bangun ruang. Rumus kesebangunan ini juga mendasari ilmu trigonometri. Dengan demikian sangat penting bagi kita untuk mengingat rumus kesebangunan ini. Berikut ini aalah rumus-rumus kesebangunan

Yang pertama : untuk kasus siku-siku
Yang kedua : untuk segitiga sembarang

Jaring-jaring Kerucut

2010-01-24T11:23:00.002+07:00

Jaring-jaring kerucut

Jaring-jaring kerucut terdiri dari 2 bagian, yaitu sebuah lingkaran (sebagai alas) dan sebuah juring (sebagai pelukis).

Soal-Soal Suku Banyak

2010-01-20T08:23:00.003+07:00

1. Jumlah semua koefisien (x² + 3x + 2)(x³ – 3x² + 4x + 3) adalah

2. Jika suku banyak x⁴ + 5x³ – 2x² – 3x – 7 dibagi oleh x – 2 maka sisanya adalah

3. Hasil pembagian suku banyak x⁴ + 6x + 7 oleh x + 3 adalah

4. Tentukan hasil bagi dan sisanya jika 2x⁵ – 3x⁴ + 7x² – 5 dibagi oleh x – 4

5. Jika 6x⁴ + 5x³ + 10x² + 18x + 10 dibagi oleh 3x + 1 maka sisanya adalah

6. Tentukan hasil baginya jika suku banyak 2x⁴ – 9x³ + 12x² + 3x + 20 dibagi oleh 2x – 5

7. Jika suku banyak x⁶ + x⁵ + 3x⁴ + 5x³ + 7x² + 5x + 10 dibagi oleh x² – x – 2 maka hasil bagi dn sisanya adalah

8. Suku banyak 2x⁵ + 7x⁴ – 3x³ – 8x² + 10x – 15 dibagi oleh x² + 2x – 5. Hasil bagi dan sisanya adalah

9. Hasil bagi dan sisanya jika suku banyak x⁸ + 2x⁶ – 8x⁵ + 12x⁴ – 20x³ + 20x² – 30x + 16 = 0 dibagi oleh x³ + 2x² + 3x – 4 adalah

10. Tentukan hasil bagi dan sisanya jika suku banyak 2x⁶ – 7x⁵ – 6x⁴ – 17x³ + 9x² +5 x – 10 dibagi oleh 2x² + 3x + 5

Nomor berikutnya segera menyusul

Link : dimensi 3

Limas segitiga

2010-01-16T08:19:00.001+07:00

Limas segitiga, sering diebut tretrahedron atau bidang empat

Soal-soal limas segitiga

1. Sebuah limas segitiga memiliki alas segitiga sama sisi yang panjang sisinya 6 cm. Jika tinggi limas 10 cm maka volume limas sama dengan

2. Limas segitiga beraturan memiliki panjang rusuk 9 cm. Tinggi limas aama dengan

3. Pada bidang empat beraturan ABCD yang panjang rusuknya 8 cm, jarak antara AB dan CD sama dengan

4. Diketahui bidang empat beraturan memiliki panjang rusuk 6 cm. Volume bidang empat tersebut sama dengan

5.Pada limas segitiga beraturan T.ABC, sudut antara garis TA dengan bidang ABC adalah x. Nilai cos x sama dengan

6. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 6. Titik P adalah titik tengah TC. Jika x adalah sudut antara AP dengan bidang ABC maka sin x sama dengan

7. Rusuk TA, TB, dan TC pada bidang empat T.ABC saling tegak lurus di T. Jika AB = AC; AB² = 2AT² dan R sudut antara bidang ABC dan bidang TBC maka tan R = ...

8. Diketahui bidang empat T.ABC dengan TA = TB , TC = 2; CA = CB = 4 dan AB = 6. Jika a adalah sudut antara TC dengan bidang TAB maka cos a =

9. Diketahui bidang empat T.ABC. Bidang-bidang TAB, TAC dan ABC saling tegak lurus,. Jika AB = AC dan, TA² = 3 AB, dan K sudut antara TBC dan ABC, maka sin K =

10. Pada limas segitiga TABC, titik P, Q, dan R masing-masing terletak pada ruas garis TA, TB, dan TC. Jika M = TA x TB x TC dan N = TP x TQ x TR buktikan bahwa Volume TABC dibandingkan volume TPQR adalah M:N

Link : Peluang

Soal Trapesium

2010-01-12T08:15:00.002+07:00

1. Sebuah trapseium memiliki panjang sisi sejajar masing-masing 8 cm dan 4 cm. Jika tinggi trapesium 5 cm maka luasnya sama dengan

2. Luas sebuah trapesium adalah 49 cm². Jika panjang sisi sejajar masing-masing 10 cm dan 4 cm maka tinggi trapesium adalah

3. Sebuah trapesium memiliki tinggi 8 cm. Jika luasnya 48 cm² dan panjang sisi sejajarnya masing-masing 7 cm dan a cm mala nilai a sama dengan

4. Diketahui trapesium siku-siku dengan AB sejajar DC. Jika AB = 10 cm, DC = 4 cm dan sudut DAB = 60^o maka luas trepesium sama dengan ...

5. Diketahui trapesium sama kaki dengan AB sejajar DC. Jika AB = 10 cm, DC = 4 cm dan sudut DAB = 60^o maka luas trepesium sama dengan ...

6. Trapesium PQRS, siku-siku di P. Sisi PQ dan RS sejajardengan PQ = 16 cm, QR = 12 cm. Jika sudut PQR = 60^o maka Luas trapesium sama dengan ...

7. Trapesium KLMN sama kaki dengan KL sejajar MN. Jika MN = 9 cm, tinggi trapesium 4 cm, KN = ML = 5 cm dan MN < KL maka luas trapesium sama dengan

8. Trapesium EFGH sama kaki dengan EF sejajar GH. Jika EF = 14 cm, tinggi trapesium 12 cm, EH = GF = 13 cm dan sudut HEF kurang dari 180^o maka luas trapesium sama dengan

9. Trapesium KLMN siku-siku di N dan KL sejajar MN. Jika KL = 10 cm, LM = 17 cm dan MN = 18 cm maka luas trapesium sama dengan

10. Pada trapesium EFGH, EF sejajar GH. Jika EF = 18 cm, GH 8 cm , GF = EH = 10 cm maka sudut EFG sama dengan ...

Link :
Bukti luas trapesium sama kaki
Bukti rumus trapesium
Peluang

Fungsi Komposisi

2010-01-08T20:42:00.002+07:00

Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers

1. (fog) (x) ≠ (gof)(x)

2. (fof^-1) (x) = x

3. (f^-1of)(x) = x

4. (f^-1ofog)(x) = g(x)

5. (fogog^-1)(x) = f(x)

6. Jika f^-1(a) = b maka f(b) = a

7. (f^-1og^-1)(x) = (gof)-1(x)
8. K^-1oL^-1oG^-1(x) = (GoLoK)^-1(x)

Link : peluang

Rumus Fungsi Kuadrat

2010-01-04T04:26:00.003+07:00

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0

Sumbu simetri : x = -b/(2a)

Nilai maksimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a < 0

Nilai minimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a > 0

Koordinat titik puncak (-b/(2a), -D/(4a))

Menyusun fungsi kuadrat

1. Fungsi kuadrat yang melalui titik (a, 0) dan (b, 0) adalah

y = a(x - a)(x - b)

2. Fungsi kuadrat yang memiliki koordinat puncak (a, b) adalah

y - b = a(x - a)²

Sifat-sifat koefisien fungsi kuadrat :

a> 0 è parabola membuka ke atas

a < 0 è parabola membuka ke bawah

c > 0 è parabola memotong sumbu y positif

c < 0 è parabola memotong sumbu y negatif

c = 0 è parabola melalui (0, 0)

Diskriminan , D = b² – 4ac

D > 0 parabola memotong sumbu x di dua titik

D = 0 parabola menyinggung sumbu x

D < 0 parabola tidak memotong sumbu x

Khasus fungsi kuadrat definit è D < 0

1. Definit positif , artinya nilai y selalu positif berapapun nilai x, atau parabola
seluruhnya berada di atas sumbu x. Ini terjadi jika

a > 0

D <0

2. Definit negatif, artinya nilai y selalu positif berapapun nilai x, atau parabola
seluruhnya berada di bawah sumbu x. Ini terjadi jika

a < 0

D < 0

Hubungan antara parabola y = ax² + bx + c dengan gris y = k

ax² + bx + c = k

ax² + bx + c-k = 0

maka D = b ² – 4a(c - k)

1. D > 0 è parabola dan garis berpotongan di 2 titik

2. D = 0 è parabola dan garis saling bersinggungan

3. D < 0 è parabola dan garis tidak berpotongan

Hubungan antara parabola y = ax² + bx + c dengan gris y = mx + n

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b-m)x + c-n = 0

maka D = (b – m)² – 4a(c - n)

1. D > 0 è parabola dan garis berpotongan di 2 titik

2. D = 0 è parabola dan garis saling bersinggungan

3. D < 0 è parabola dan garis tidak berpotongan

Hubungan antara parabola y = ax² + bx + c dan parabola y = px² + qx + r

ax² + bx + c = px² + qx + r

(a - p) x² + (b-q) x + c- r = 0

D = (b – q)² – 4(a – p)(c – r)

1. D > 0 è kedua parabola berpotongan di 2 titik

2. D = 0 è kedua parabola saling bersinggungan

3. D < 0 è kedua parabola tidak berpotongan

Link : soal matematika

Rumus Persamaan Kuadrat

2010-01-01T05:10:00.003+07:00

Jika a dan b akar-akar persamaan kuadrat maka

a + b = -b/a ab = c/a a-b = ÖD/a

Untuk melihat buktinya silakan klik di sini

Bentuk simetris

a² + b² = (a + b)² - 2ab

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² - 2(ab)²

Sifat-sifat diskriminan, D = b² – 4ac

D ³ 0 èpersamaan kuadrat memiliki 2 akar real

D = 0 è persamaan kuadrat memiliki 2 akar kembar

D > 0 èpersamaan kuadrat memiliki 2 akar real berbeda

D < 0 è persamaan kuadrat tidak memiliki akar real

Bentuk-bentuk persamaan kuadrat khusus

1. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang saling berlawanan bila b = 0

2.Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang saling berkebalikan bila a = c

3.Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang berbeda tanda jika

ab < 0

D ³ 0

4. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar positif jika

ab > 0

a + b > 0

D ³ 0

5. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar negatif jika

ab > 0

a + b < 0

D ³ 0

6. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang lebih besar dari q jika

(a-q)(b-q) > 0

a + b > 2q

D ³ 0

7. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang lebih kecil dari q jika

(a-q)(b-q) > 0

a + b < 2q

D ³ 0

Link : soal matematika

Pertidaksamaan

2009-12-31T13:43:00.001+07:00

Rumus-rumus pertidaksamaan

1. Jika a < b maka a + c < b + c

2. Jika a < b maka a - c < b - c

3. Jika a < b maka ac < bc untuk c > 0

4. Jika a < b maka ac > bc untuk c < 0

5. Jika a < b maka a/c < b/c untuk c > 0

6. Jika a < b maka a/c > b/c untuk c < 0

7. Jika a > 0 dan b > 0 maka ab > 0

8. Jika a > 0 dan b < 0 maka ab < 0

9. Jika a < 0 dan b < 0 maka ab > 0

10. Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d

11. Jika a < b dan b < c maka a < c

12. a² ³ 0 untuk setiap a bilangan real

13. Jika a/b > 0 maka ab > 0

14. Jika a/b < 0 maka ab < 0

15. Jika x < a maka - a < x < a

16. Jika x > a maka x <- a atau x > a

17. Jika x < y maka (x + y)(x – y) < 0

18. Jika x > y maka (x + y)(x – y) > 0

19. Jika Öx < a denga a > 0 maka x < a² dan x ³ 0

20. Jika Öx < a denga a < 0 maka penyelesaiannya himpunan kosong

21. Jika Öx < y maka x < y², x ³ 0, dan y > 0

Link : soal matematika

Soal Belah Ketupat

2009-12-14T03:22:00.001+07:00

Soal Belah Ketupat

1. Keliling belah ketupat yang panjang sisinya 7 cm adalah

2. Luas belah ketupat yang memiliki panjang diagonal 10 cm dan 6 cm sama dengan

3. Jika diketahui luas belah keupat adalah 48 cm² dan panjang salah satu diagonalnya 8 cm maka panjang diagonal yang lain adalah …

4. Sebuah belah ketupat panjang salah satu diagonalnya adalah 12 cm dan panjang sisinya
adalah 10 cm. Luas belah ketupat sama dengan

5. Diketahui belah ketupat memiliki keliling 52 cm. Jika panjang salah satu diagonalnya adalah 10 cm maka luasnya adalah

6. Luas belah ketupat adalah 240 cm². Jika panjang salah satu diagonalnya adalah 30 cm maka kelilingnya sama dengan

7. Keliling belah ketupat adalah 40 cm. Jika luasnya 96 cm² maka panjang
diagonalnya masing-masing adalah

8. Panjang diagonal terpendek pada belah ketupat adalah 8 cm. Jika salah satu sudutnya 60^o
maka luas belah ketupat adalah

Link : rumus permutasi

Rumus Permutasi

2009-12-10T23:01:00.002+07:00

Yang dimaksud permutasi adalah banyaknya cara memilih sesuatu yang masih mementingkan urutan.
Contoh kasus permutasi adalah
* Banyaknya cara orang duduk
* Pemilihan pengurus (dengan menyebut jabatan, misalnya ketua, wakil, dsb)
* Cara menyusun bilangan dari angka-angka

Jika terdapat n data yang tersedia, dan dipilih sebanyak r maka banyaknya cara cara memilih adalah

Contoh :
Lima orang duduk bergantian pada kursi yang bisa dipakai 3 orang. Banyaknya cara mereka duduk adalah …

Link : Rumus matematika

Soal Matematika Dimensi Tiga

2009-12-08T06:53:00.001+07:00

1. Sebuah kubus memiliki rusuk 10 cm, tentukan
a. Panjang diagonal bidangnya
b. Panjang diagonal ruangnya
c. Luas bidang diaonalnya

2. Panjang diagonal bidang pada balok yang rusuknya 5 cm, 6 cm dan 30 cm sama dengan

3. Pada kubus ABCDEFGH, tentukan besar sudut antara
a. AB dan GH
b. AC dan FH
c. CG dan BE
d. BG dan CD
e. EG dan CH
f. BD dan AG

4. Jika sudut yang dibentuk oleh AC dan bidang ABCD pada kubus ABCDEFGH adalah x maka cos x sama dengan

5. Bidang empat DABC memiliki panjang rusuk 4 cm. Jika sudut yang dibentuk oleh DA dengan ABC adalah x maka cos x sama dengan

6. Diketahui limas segi empat TABCD dengan alas berbentuk bujursangkar. Jika panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm , panjang diagonal alasnya 10 cm dan sudut yang dibentuk oleh bidang TAB dengan ABCD adalah x maka sin x sama dengan

link : rumus matematika

soal matematika peluang

2009-12-05T07:51:00.001+07:00

1. Seseorang memiliki 8 baju dan 6 celana. Banyaknya cara memilih pasangan baju celana adalah

2. Seseorang memiliki 8 baju merah dan 6 baju hitam. Banyaknya cara memilih baju adalah

3. Kota A dan B dihubungkan oleh 4 jalan, kota B dan C oleh 3 jalan. Jika tidak ada jalan yang menghubungkan kota A dan C maka banyaknya cara memilih jalan dari A ke C kembali ke A tanpa melalui jalan yang sama adalah

3. Lima orang duduk bergantian pada kursi panjang yang bisa dipakai oleh 3 orang. Banyaknya cara mereka duduk adalah

4. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka. Jika angka-angkanya boleh sama maka banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

5. Dari angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

6. Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda. Jika bilangannya lebih besar dari 400 maka banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

7. Disediakan angka-angka 1, 2, 5, 6, 8, dan 9. Jika dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda dan bilangannya harus genap maka banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

8. Dari angka-angka 2, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah ...

9. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 dibuat bilangan dengan susunan angka berbeda. Jika bilangannya lebih kecil dari 400 maka banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

10. Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 dibuat bilangan dengan susunan angka berbeda yang besarnya antara 30 dan 5000. banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

11. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda. Jika bilangannya harus genap dan lebih besar dari 5 mka banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

12 Dari angka-angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda. Jika bilangannya lebih besar dari 650 maka banyaknya bilangan yang bisa dibuat adalah

Link : matematika

Soal Matematika

2009-12-03T23:34:00.002+07:00

Berikut ini saya posting soal-soal matematika. Mudah-mudahan bermanfaat bagi anda

Peluang
Dimensi tiga

Suku banyak
Persamaan garis (segera menyusul)
Persamaan lingkaran (segera menyusul)
Persamaan kuadrat (segera menyusul)
Fungsi kuadrat (segera menyusul)
Relasi dan fungsi (segera menyusul)
Pertidaksamaan (segera menyusul)

Link matematika

Rumus matematika

2009-04-02T19:15:00.002+07:00

Pada dasarnya rumus matematika bukanlah sesuatu yang harus dihafal. Rumus matematika lebih baik difahami, dan alangkah lebih baik kita engetahui bukti-buktinya. Biasanya siswa yang memahami bukti-bukti rumus matematika akan lebih mudah untuk memecahkan permasalahan-permasalahan matematika. Berikut ini adalah bukti-bukti dari berbagai rumus matematika

Penguraian bentuk kuadrat
Rumus phytagoras
Luas segitiga
Luas jajaran genjang
Luas belah ketupat
Luas layang-layang
Luas trapesium
Luas lingkaran

Kumpulan Rumus

Link : matematika

Matematika

2009-03-29T07:58:00.000+07:00

Matematika, ilmu yang kadang ditakuti, dijauhi, dianggap sulit, dianggap membosankan dan lain-lain. Tetapi di kalangan tertentu justru sebaliknya, matematika dianggap materi yang menarik, indah, bahkan ada orang-orang tertentu yang justru kecanduan dengan matematika.
Saya sendiri memaklumi keadaan manusia yang berbeda-beda, apakah dia suka matematika atau membencinya, ya bolehlah. Memang mayoritas tidak suka matematika dan yang suka hanya minoritas.
Mungkin bagi teman-teman yang masuk dalam anggota mayoritas, tidak usah berkecil hati. Matematika bukan satu-satunya hal yang membuat orang jadi sukses. Jadi ga usah minder jika ketemu dengan orang yang jago matematika. He-he.
Bagi teman-teman yang memang masuk kategori jago matematika juga ga usah sombong, belum tentu anda lebih sukses dibandingkan dengan orang yang ga bisa matematika.
Tapi harapan saya, buat yang kuarang bisa matematika, berusahalah untuk belajar matematika. Anda kesulitan bukan karena IQ anda kurang. Mungkin ada masa lalu yang mebuat kita jadi ga bisa, dan itu masalah sepele. Saya sendiri juga pernah mengalaminya.
Terkadang ada seorang anak, karena sakit maka dia tidak masuk sekolah untuk beberapa hari. Waktu itu dia sudah belajar perkalian pecahan. Mudah kan perkalian pecahan? Pembilang dikali pembilang dan penyebut dikali dengan penyebut. Ketika dia tidak masuk, guru mengajarkan penjumlahan pecahan. Tentunya penjumlahan pecahan lebih sulit, harus menyamakan penyebut dulu. Ketika dia masuk di hari pertama setelah sembuh ternyata ulangan matematika. Saat itulah sia anak tidak bisa mengerjakan satupun. Dia langsung mengambil kesimpulan, saya memang tidak berbakat matematika.
Ketika seseorang sudah merasa tidak bisa, mereka cenderung tidak mau mempelajari lagi (berdasarkan survey 97% orang seperti ini). Hanya 3% yang tertantang.
Karena tidak mau belajar lagi, aytau belajarnya sedikit, sudah tentu dia tidak bisa metematika. Akibatnya sampai dia besar dia tetap kesulitan matematika.