MATEMATIKA INDONESIA: September 2012

Sabtu, 29 September 2012

Sudut Istimewa Dalam Trigonometri

Materi ini adalah lanjutan dari fungsi trigonometri.
Dalam trigonometri, ada sudut-sudut yang dikatakan sudut istimewa. Sudut Istimewa dalam trigonometri tersebut adalah 0^o, 30^o, 45^o, 60^o dan 90^o
Marilah kita hitung nilai sinus, cosinus, dan tangen dari sudut istimewa ini

Untuk sudut 45^o

Segitiga siku-siku yang memiliki sudut 45^o pastila memiliki sudut-sudut 45^o, 90^o dan 45^o, sehingga merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Jadi kedua sisi siku-sikunya pasti sama, dan kita pilih besarnya 1. Dari sini kita bisa memperoleh sisi miring sebesar
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Dari gambar bisa disimpulkan
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Untuk sudut 60^o

Pada segitiga sama sisi, ketiga sudutnya masing-masing adalah 60^o. Ketiga sisinya sama dan kita pilih besarnya 2. Segitiga ini sekarang kita belah 2 sama secara vertikal, sehingga alasnya terbagi 2 sama, masing-masing panjangnya 1. Dari sini kita peroleh dua buah segitiga siku-siku. Dengan memakai rumus pythagoras kita bisa memperoleh tinggi segitiga, yaitu
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Dari segitiga siku-siku sebelah kiri, kita bisa menentukan sin 60^o, cos 60^o, dan tan 60^o yaitu :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Untuk sudut 30^o
Dari segitiga sama sisi di atas, sekarang kita ambil bagian kanan (warna kuning) dan kita putar 90^o berlawanan arah jarum jam, sehingga kita peroleh sebagai berikut :

Dari gambar kita bisa memperoleh nilai sinus 30^o, cos 30^o dan tan 30^o
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Untuk mempermudah mengingat hasil pembuktian ini maka dudut-sudut istimewa ini kita susun dalam tabel trigonometri.

Kamis, 27 September 2012

Persamaan Garis Singgung 2

Persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya.

Pada bagian ini kita mulai dari contoh 6 dan seterusnya. Contoh-contoh sebelumnya, silakan di klik di sini

Contoh 6 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ - 100x yang bergradien 8

Jawab :
m = 8
y' = 8
4x³ - 100 = 8
4x³ = 108
x³ = 27
x = 3
y = x⁴ - 100x = 81 - 300 = - 219
Persamaan garisnya adalah :
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 219 = 8(x - 3)
y + 219 = 8x - 24
y = 8x - 243

Contoh 7 :
Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ - 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :
y = 3x⁴ - 20
y' = 12x³
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y' = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ - 20 = 3 - 20 = - 17
Persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 17 = 12(x - 1)
y + 17 = 12x - 12
y = 12x - 29

Contoh 8 :
Garis yang menyinggung kurva y = 12 - x⁴ dan tegak lurus dengan x - 32y = 48 mempunyai persamaan ....

Jawab :
y = 12 - x⁴
y' = - 4x³

Persamaan garis dari soal :
x - 32y = 48
32y = x - 48
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Garis ini memiliki gradien
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka
m₁.m₂ = -1
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

m₂= -32
m₂ ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y' = -32
- 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
y = 12 - x⁴ = 12-2⁴ = -4
Persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 4 = -32(x - 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60

Contoh 9 :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x yang sejajar dengan garis x + 4y = 20 adalah ...

Jawab :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

maka

Persamaan garis dari soal adalah
4y = -x + 20
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

gradien garis ini adalah
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Syarat 2 garis sejajar adalah gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

karena gradien garis singgung sama dengan turunan maka
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

x² = 4

Untuk x = 2 maka diperoleh :
y = 1/x = 1/2
maka persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Jika kedua ruas dikali 4 maka diperoleh :
4y - 2 = - x + 2
x + 4y - 4 = 0

Untuk x = - 2 maka diperoleh
y = 1/x = - 1/2
maka persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Jika kedua ruas dikali 4 maka
4y + 2 = -x - 2
x + 4y + 4 = 0

Contoh 10 :
Persamamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 yang tegak lurus dengan x + 27y = 81 adalah ....

Jawab :
y = x³ + 10
y' = 3x²
Persamaan garis dari soal adalah
x + 27y = 81
27y = -x + 81
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Karena saling tegak lurus maka berlaku
m₁.m₂ = -1
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

m₂ = 27
Gradien garis singgung ini sama dengan turunan fungsi , sehingga
y' = 27
3x² = 27
x² = 9
x = 3 atau x = -3

Untuk x = 3 maka
y = x³ + 10 = 27 + 10 = 37
Persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 37 = 27(x - 3)
y - 37 = 27x - 81
y = 27x - 44

Untuk x = -3 maka
y = x³ + 10 = -27 + 10 = -17
Persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 17 = 27(x + 3)
y + 17 = 27x + 81
y = 27x + 64

Soal Belah Ketupat Dan Jawabannya

Soal Belah Ketupat Dan Jawabannya
Berikut ini adalah jawaban dari soal-soal belah ketupat. Untuk melihat soalnya, silakan di klik di sini

1. sisi = 7 cm , maka keliling = 4xsisi = 4x7 = 28 cm
2. d₁ = 10 cm, d₂ = 6 cm
Luas belah ketupat = 0,5 x d₁ x d₂ = 0,5 x 10 x 6 = 30 cm²

3. d₁ = 8 cm
Luas = 48 cm²
0,5 x d₁ x d₂ = 48
0,5 x 8 x d₂ = 48
d₂ =12 cm

Sebuah belah ketupat panjang salah satu diagonalnya adalah 12 cm dan panjang sisinya
adalah 10 cm. Luas belah ketupat sama dengan

4. d₁ = 12 ===> OB = 0,5x d₁ = 0,5 x 12 = 6
s = 10 ===> AB = 10

d₂ = 2xOA = 2 x 8 =16 cm
Luas belah ketupat = 0,5 x d₁ x d₂ = 0,5x12x16 = 96 cm2

5. K = 52 cm ==> s = 0,25xK = 0,25x52 = 13 cm ===> AB = 13 cm
d₁ = 10 cm ===> OB = 5 cm

d₂ = 2 x OA = 2 x 12 = 24 cm
Luas belah ketupat = 0,5 x d₁ x d₂ = 0,5x 10 x 24 = 120 cm²

6. d₁ = 30 cm ===> AC = 30 cm ===> OA = 0,5 x AC = 0,5 x 30 = 15 cm
L = 240
0,5 x d₁ x d₂ = 240
0,5 x 30 x d₂ = 240
15 x d₂ = 240
d₂ =16 ===> AB = 16 ===> OB = 8 cm

s = AB = 17 cm
Keliling belah ketupat = 4 x s = 4 x 17 = 68 cm

7. K = 40 ===> s = 0,25 x K = 0,25 x 40 = 10 cm
L = 96 cm²
0,5 x d₁ x d₂ =96

0,5 2xOA x 2 x OB = 96
2xOA x OB = 96
OA x OB =48

OA² + OB² = s²

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

OA⁴ + 2304 = 100OA²
OA⁴ - 100OA² + 2304 = OA²
(OA² - 36)(OA² - 64) = 0
OA² = 36 atau OA² = 64
Misalkan kita pilih saja OA² = 64 maka OA = 8

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

d₁ = 2 x OA = 2 x 8 = 16 cm
d₂ = 2 x OB = 2 x 6 = 12 cm

8. d₁ = 8 cm ===> OB = 0,5 x d₁ = 0,5 x 8 = 4 cm

Rabu, 26 September 2012

Turunan Logaritma Natural 2

Bab Turunan logaritma natural ini merupakan lanjutan dari bilangan natural. Berikut ini saya berikan contoh-contoh turunan dari logaritma natural.
Aturan rantai bisa dipakai pada logaritma natural ini, jadi

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 1 :
Tentukan turunan pertama dari y = ln (8x +1)

Jawab :

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 2 :
Tentukan turunan pertama dari y = ln 9x adalah ....

Jawab :
Cara I :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Cara II
y = ln 9x = ln 9 + ln x
maka
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

(ln 9 adalah konstanta, jadi turunannya = 0)

Contoh 3 :
Turunan pertama dari y = ln sin x adalah ...

Jawab :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 4 :
Turunan pertama dari y = ln cos x adalah ...

Jawab :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 5 :
Jika y = ln sec x maka dy/dx = ....

Jawab :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 6 :

Jika y = ln csc x maka dy/dx = ...

Jawab :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 7 :
Jika f(x) = ln (sec x + tan x) maka f '(x) = ...

Jawab :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 8 :
Jika f(x) = ln (csc x + cot x) maka df/dx = ...

Jawab :

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 9 :
Tentukan turunan pertama dari
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Jawab :

Contoh 10 :
Tentukan turunan pertama dari
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Jawab :

Contoh 11 :
Turunan pertama dari
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

adalah ...

Jawab :
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.