MATEMATIKA INDONESIA

Kamis, 01 Oktober 2015

Integral Luas daerah

Luas daerah antara kurva dengan sumbu koordinat ataupun antara 2 kurva bisa kita hitung dengan menggunakan integral

Contoh soal 1 :
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 12x - 2x² dengan sumbu x adalah ...

Jawab
titik potong dengan sumbu x :
y = 0
12x - 2x² = 0
2x (6 - x) = 0
2x = 0 atau 6 - x = 0
x = 0 atau x = 6
Karena koefisien x² negatif maka parabola membuka ke bawah

$L=\int_{0}^{6}\left (12x-2x^{2} \right )dx$ $=6x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\left.\begin{matrix} .\\ . \end{matrix}\right|\begin{matrix} 6\\0 \end{matrix}$

$L=6.6^{2}-\frac{2}{3}.6^{3}-0=216-144=72$

Contoh soal 2 :

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² - 4x - 5 dengan sumbu x adalah ...

Jawab :

Mencari titik potong dengan sumbu x

x² - 4x - 5 = 0

(x - 5)(x + 1) = 0

x = 5 atau x = -1

Karena koefisien x² positif maka parabola membuka ke atas

$L=-\int_{-1}^{5}\left ( x^{2}-4x-5 \right )dx=-\left ( \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} -5x\right )\left.\begin{matrix} .\\. \end{matrix}\right|\begin{matrix} 5\\-1 \end{matrix}$

$L=-\left ( \frac{1}{3}.5^{3}-2.5^{2}-5.5 \right )+\left ( \frac{1}{3}.(-1)^{3}-2.(-1)^{2}-5.(-1) \right )$

$L=-\left ( \frac{125}{3}-50-25 \right )+\left ( -\frac{1}{3} -2+5\right )$

$L=-\frac{125}{3}+75-\frac{1}{3}+3=78-\frac{126}{3}=36$

Kamis, 07 Agustus 2014

Persamaan Eksponen

Bentuk umum persamaan eksponen adalah

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

Contoh 1
3^4x+2 = 9^{x - 3}

Jawab
3^4x+2 = (3²)^{x - 3}
3^4x+2 = 3^{2x - 6}
4x + 2 = 2x - 6
2x = -8
x= -4

Contoh 2

5^{x²- 6x + 2} + 5^{x²-6x + 1}=30

Jawab :
5^{x²- 6x}.5² + 5^x²-6x.5¹=30
5^{x²- 6x}.(5² +5¹) = 30
5^{x²- 6x}.(30) = 30
5^{x²- 6x} = 1
5^{x²- 6x} = 5⁰
x² - 6x = 0
x(x - 6) = 0
x = 0 atau x = 6

Contoh 3

25^x - 6.5^{x + 1} + 125 = 0

Jawab :
(5²)^x- 6.5^x.5¹+ 125 = 0
5^2x - 30.5^x.+ 125 = 0
(5^x)²-30.5^x.+ 125 = 0
misal 5^x = y maka
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5 atau y = 25
5^x= 5¹ atau 5^x= 5²
x = 1 atau x = 2

Selasa, 05 Agustus 2014

Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ dan x₂) adalah
(x - x₁)(x - x₂) = 0
x² - x.x₂) - x₁.x + x₁.x₂ = 0
x² - (x₂ + x₁) x + x₁.x₂ = 0
atau
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0

Contoh soal 1

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan x² - 2x - 7 = 0 adalah ...

Jawab
misalkan akar-akar persamaan kuadrat yanga ada di soal adalah p dan q
maka
p + q = -b/a = 2
pq = c/a = -7
Karena akar-akarnya 3 kalinya maka
x₁ = 3p
x₂ = 3q

x₁ + x₂ = 3p + 3q = 3(p + q) = 6
x₁.x₂ = 3p.3q = 9pq = - 63

Maka persamaan kuadrat barunya adalah
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0
x² - 6x- 63 = 0

Contoh soal 2

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 lebihnya akar-akar persamaan x² - x - 5 = 0 adalah ...

misalkan akar-akar persamaan kuadrat yanga ada di soal adalah p dan q
maka
p + q = -b/a = 1
pq = c/a = -8
Karena akar-akarnya 3 lebihnya maka
x₁ = p + 3
x₂ = q + 3

x₁ + x₂ = p + 3 + q + 3 = (p + q) + 6 = 1 + 6 = 7
x₁.x₂ = (p + 3).(q+ 3) = pq + 3p + 3q + 9= pq + 3(p + q) + 9 = -8 + 3 + 9 = 3

Maka persamaan kuadrat barunya adalah
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0
x² - 7x +3 = 0

Baca Juga Rumus Cepat Matematika

Contoh soal 3

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kurangnya akar-akar persamaan x² -5x + 1 = 0 adalah ...

misalkan akar-akar persamaan kuadrat yanga ada di soal adalah p dan q
maka
p + q = -b/a = 5
pq = c/a = 1
Karena akar-akarnya 3 kurangnya maka
x₁ = p - 3

x₂ = q - 3

x₁ + x₂ = p - 3 + q - 3 = (p + q) - 6 = 5 - 6 = -1

x₁.x₂ = (p - 3).(q - 3) = pq - 3p - 3q + 9= pq - 3(p + q) + 9 = 1 - 15 + 9 = -5

Maka persamaan kuadrat barunya adalah
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0
x² + x -5 = 0

Minggu, 15 September 2013

Transformasi Geometri

Transformasi geometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari tentang pemindahan titik atau kurva dengan metoda tertentu.
Jenis-jenis transformasi geometri tersebut adalah
1. Rotasi (perputaran)
2. Refleksi (pencerminan)
3. Dilatasi (perbesaran)
4. Translasi (pergeseran)

Dalam melakukan perhitungan transformasi geometri ini, biasanya kita menggunakan matriks untuk mempermuadah perhitungan
Matriks-matriks tersebut adalah
1. Rotasi 90^o berlawanan arah jarum jam
$\begin{pmatrix} 0 & -1\\1 & 0 \end{pmatrix}$

2. Rotasi 180^o berlawanan arah jarum jam

$\begin{pmatrix} -1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix}$
3. Rotasi 270^o berlawanan arah jarum jam
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$

4. Rotasi t berlawanan arah jarum jam
$\begin{pmatrix} \cos t & -\sin t\\\sin t & \cos t \end{pmatrix}$

5. Pencerminan terhadap sumbu x
$\begin{pmatrix} 1 & 0\\\0 & -1 \end{pmatrix}$

6. Pencerminan terhadap sumbu y
$\begin{pmatrix} -1 & 0\\\0 & 1 \end{pmatrix}$

7. Pencerminan terhadap garis y = x
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\\1 & 0 \end{pmatrix}$

8. Pencerminan terhadap garis y = -x
$\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\-1 & 0 \end{pmatrix}$

Minggu, 20 Januari 2013

Kuadran Trigonometri

Koordinat kartesius terdiri atas 4 bagian. Bagian ini yang seringkali disebut dengan istilah kuadran. Keempat kuadran tersebut adalah kuadran I, Kuadran II, Kuadran III, dan kuadran IV
Di kuadran I semua fungsi trigonometri positif
Di kuadran II sinus dan cosecan positif, sedangkan yang lainnya negatif
Di kuadran III tangen dan cotangen positif, sedangkan yang lainnya negatif
Di kuadran IV cosinus dan secan positif, sedangkan yang lainnya negatif

Mengapa di kuadran I semua positif ?
Karena di kudran I nilai x positif dan y juga positif , sedangkan r di kuadran manapun tetap positif.

Mengapa di kuadran II sinus positif ?
Di kuadran II nilai x negatif, sedangkan y positif. Nilai r di kuadran manapun positif
sin A = y/r = (+)/(+) = (+)
cos A = x/r = (-)/(+) = (-)
tan A = y/x = (+)/(-) = (-)
karena sinus positif maka kebalikan dari sinus yaitu cosecan juga positif

Mengapa di kuadran III tangen positif ?
Di kuadran III nilai x negatif, dan y juga negatif. Nilai r di kuadran manapun positif
sin A = y/r = (-)/(+) = (-)
cos A = x/r = (-)/(+) = (-)
tan A = y/x = (-)/(-) = (+)
karena tangen positif maka kebalikan dari tangen yaitu cotangen juga positif

Mengapa di kuadran III tangen positif ?
Di kuadran IV nilai x positif, sedangkan y negatif. Nilai r di kuadran manapun positif
sin A = y/r = (-)/(+) = (-)
cos A = x/r = (+)/(+) = (+)
tan A = y/x = (-)/(+) = (-)
karena cosinus positif maka kebalikan dari cosinus yaitu secan juga positif

Selasa, 01 Januari 2013

Video Matematika

Belajar matematika melalaui video, tentunya akan lebih asyik bila dibandingkan dengan membaca tulisan. Untuk itu, di sini akan saya tampilkan pembelajaran matematika dengan meggunakan video. Silakan ditonton, mudah-mudahn bermanfaat

Latihan UN SMA matematika IPA

Latihan UN SMA matematika IPS

Persamaan Kuadrat

Soal Menantang

1. Integral Tentu
Diketahui
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

maka

Pembahasan

2. Integral trigonometri

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Pembahasan

selamat menonton

Kamis, 15 November 2012

Soal-Soal Turunan

Materi ini adalah lanjutan dari sifat-sifat turunan

contoh 1
Turunan pertama dari fungsi f(x) = x cos x adalah .....

Jawab :
u = x maka u' = 1
v = cos x maka v' = -sin x
f(x) = x .cos x = u.v
maka
f '(x)= u'v + uv' = 1.cos x + x. (-sin x) = cos x - x sin x

Contoh 2
Turunan pertama dari f(x) = sin 2x adalah ....

Jawab :
f(x) = sin 2x = 2 sin x cos x
misal
u = 2 sin x maka u' = 2 cos x
v = cos x maka v' = - sin x

f'(x) = u'v + uv' = 2 cos x . cos x + 2 sin x (- sin x)
= 2 cos² x - 2 sin² x = 2 (cos² x - sin² x) = 2 cos 2x

Contoh 3 :
Tentukan turunan pertama dari
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Jawab :
u = 5x + 2 maka u' = 5
v = 4x + 3 maka v' = 4
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

maka

Contoh 4 :
Tentukan turunan pertama dari
This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Jawab :
u = sin x - 2 maka u'=cos x
v = 3 sin x + 1 maka v' = 3 cos x

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Contoh 5
Jika f(x) = x² sin x cos x

Jawab :
u = x² maka u' = 2x
v = sin x cos x maka
v' = (sin x)' cos x + sin x (cos x)' = cos x.cos x + sin x(-sin x) = cos ² x-sin² x = cos 2x

f '(x)=u'v + uv' = 2x sin x cos x + x² cos 2x

Rabu, 17 Oktober 2012

Tabel Trigonometri Sudut Istimewa

Berikut ini adalah tabel trigonometri sudut istimewa. Untuk melihat pembuktiannya, silakan di klik disini.

Untuk lebih mengingatnya, dalam maka tabel bisa kita modifikasi sebagai berikut

Dari hasil modifikasi ini terlihat jelas bahwa nilai-nilai sinus terurut seperti bilangan cacah, mulai dari 0, 1, 2, 3 dan 4. Sedangkan nilai cosinus terurut seperti bilangan cacah yang menurun, mulai dari 4, 3, 2, 1 dan 0. Nilai tangen terlihat lebih teratur, dengan pembilang adalah bilangan cacah yang naik, sedangkan penyebut seperti bilangan cacah yang menurun

Jumat, 05 Oktober 2012

Sifat-sifat Turunan

Materi ini adalah lanjutan dari rumus-rumus turunan
Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'
2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'
3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'

5. This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

maka

Bukti :
Sifat 1
f(x) = u(x) + v(x)

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f '(x) = u'(x) + v'(x)

Sifat 2 :

f(x) = u(x) - v(x)

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f '(x) = u'(x) - v'(x)

Sifat 3 :
f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f '(x)=c.u'(x)

Sifat 4 :
f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Sifat 5

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Karena

maka

sehingga

Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.