Persamaan Eksponen

Bentuk umum persamaan eksponen adalah

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x) 

Contoh 1
3^4x+2 = 9^{x - 3}

Jawab
3^4x+2 = (3²)^{x - 3}
3^4x+2 = 3^{2x - 6}
4x + 2 = 2x - 6
2x = -8
x= -4


Contoh 2

5^{x2- 6x + 2} + 5^{x2-6x + 1}=30

Jawab :
5^{x2- 6x}.5² + 5^x2-6x.5¹=30
5^{x2- 6x}.(5² +5¹) = 30
5^{x2- 6x}.(30) = 30
5^{x2- 6x} = 1
5^{x2- 6x} = 5⁰
x² - 6x = 0
x(x - 6) = 0
x = 0 atau x = 6



Contoh 3

25^x  - 6.5^{x + 1} + 125 = 0

Jawab :
(5²)^x - 6.5^x .5¹+ 125 = 0
5^2x   - 30.5^x .+ 125 = 0
(5^x)² -30.5^x .+ 125 = 0
 misal 5^x  = y maka
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5 atau y = 25
5^x = 5¹ atau 5^x = 5² 
x = 1 atau x = 2

Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ dan x₂) adalah
(x - x₁)(x - x₂) = 0
x² - x.x₂) - x₁.x + x₁.x₂ = 0
x² - (x₂ + x₁) x + x₁.x₂ = 0
atau
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0

Contoh soal 1

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan x² - 2x - 7 = 0 adalah ...

Jawab
misalkan akar-akar persamaan kuadrat yanga ada di soal adalah p dan q
maka
p + q = -b/a = 2
pq = c/a = -7
Karena akar-akarnya 3 kalinya maka
x₁ = 3p
x₂  = 3q

x₁ + x₂ = 3p + 3q = 3(p + q) = 6
x₁.x₂  = 3p.3q = 9pq = - 63

Maka persamaan kuadrat barunya adalah
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0
x² - 6x - 63 = 0

Contoh soal 2

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 lebihnya akar-akar persamaan x² - x - 5 = 0 adalah ...

misalkan akar-akar persamaan kuadrat yanga ada di soal adalah p dan q
maka
p + q = -b/a = 1
pq = c/a = -8
Karena akar-akarnya 3 lebihnya maka
x₁ = p + 3
x₂  = q + 3


x₁ + x₂ = p + 3 + q + 3 = (p + q) + 6 = 1 + 6 = 7
x₁.x₂  = (p + 3).(q+ 3) = pq + 3p + 3q + 9= pq + 3(p + q) + 9 = -8 + 3 + 9 = 3

Maka persamaan kuadrat barunya adalah
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0
x² - 7x  +3 = 0

Baca Juga Rumus Cepat Matematika

Contoh soal 3

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kurangnya akar-akar persamaan x² -5x + 1 = 0 adalah ...

misalkan akar-akar persamaan kuadrat yanga ada di soal adalah p dan q
maka
p + q = -b/a = 5
pq = c/a = 1
Karena akar-akarnya 3 kurangnya maka
x₁ = p - 3

x₂  = q - 3



x₁ + x₂ = p - 3 + q - 3 = (p + q) - 6 = 5 - 6 = -1

x₁.x₂  = (p - 3).(q - 3) = pq - 3p - 3q + 9= pq - 3(p + q) + 9 = 1 - 15 + 9 = -5


Maka persamaan kuadrat barunya adalah
x² - (x₁+ x₂) x + x₁.x₂ = 0
x² + x  -5 = 0