MATEMATIKA INDONESIA: Integral Trigonometri

Integral Trigonometri merupakan hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Sebelum kita mencoba mengingat rumus-rumus integral triogonometri maka sebaiknya kita ingat dulu turunan trigonometri. Turunan trigonometri bisa kita tuliskan sebagai berikut
y = sin x maka y' = cos x
y = cos x maka y' = - sin x
y = tan x maka y' = sec² x
y = cot x maka y' = -csc² x
y = sec x maka y' = sec x tan x
y = csc x maka y' = -csc x cot x

Dengan demikian jika rumus-rumus ini kita balik akan menjadi
$\int cos x dx = sin x + c$
$\int sin x dx = -cos x + c$
$\int sec^{2} x dx = tan x + c$
$\int csc^{2} x dx = -cot x + c$
$\int sec x tan x dx = sec x + c$
$\int csc x cot x dx = -csc x + c$

Rumus-rumus tersebut bisa dibuat lebih umum sebagai berikut
$\int cos (ax+b) dx = \frac{1}{a}sin(ax+b) + c$
$\int sin (ax+b) dx = -\frac{1}{a}cos(ax+b) + c$
$\int sec^{2} (ax+b) dx = \frac{1}{a}tan(ax+b) + c$
$\int csc^{2} (ax+b) dx = -\frac{1}{a}cot(ax+b) + c$
$\int sec (ax+b)tan (ax+b) dx = \frac{1}{a}sec(ax+b) + c$
$\int csc (ax+b)cot (ax+b) dx = -\frac{1}{a}csc(ax+b) + c$

Untuk lebih jelasnya kita bisa membuktikan sebagai berikut
misalkan : y = ax + b
maka
$\frac{dy}{dx}=a\rightarrow dx=\frac{dy}{a}$
Jadi :
$\int cos (ax+b)dx = \int cos y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int cosy dy = \frac{1}{a}siny+c$
$=\frac{1}{a}sin(ax+b) + c$

$\int sin (ax+b)dx = \int sin y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int sin y dy = -\frac{1}{a}cosy+c$
$= -\frac{1}{a}cos(ax+b)+c$

$\int sec^{2} (ax+b)dx = \int sec^{2} y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int sec^{2} y dy = \frac{1}{a}tany+c$
$= \frac{1}{a}tan(ax+b)+c$

$\int csc^{2} (ax+b)dx = \int csc^{2} y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int csc^{2} y dy = -\frac{1}{a}coty+c$
$= -\frac{1}{a}cot(ax+b)+c$

$\int sec (ax+b)tan (ax+b)dx = \int sec y tan y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int sec y tan y dy$
$= \frac{1}{a}sec y+c = \frac{1}{a}sec(ax+b)+c$

$\int csc (ax+b)cot (ax+b)dx = \int csc y cot y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int csc y cot y dy$

$= -\frac{1}{a}csc y+c = -\frac{1}{a}csc(ax+b)+c$

7 komentar:

Unknown31 Desember 2010 pukul 23.32
wah... saya sudah nggak tahu banyak tentang kalkulus nih, maklum udah lama berkutat dg matematika sederhana ala matematika smp. tengok blogku pak, baru belajar nih pak. terimaksih
BalasHapus
Balasan
Tisen8 Januari 2011 pukul 21.41
wah blog yg sangat menarik pak...
saya juga kpengen membuat blog kayak gini..
bolehkan saya jadikan sumber inspirasi???
BalasHapus
Balasan
Aji Setia Budi20 Maret 2011 pukul 10.53
Boleh juga nih..
jdi enak blajarnya.
BalasHapus
Balasan
freeposting13 Juli 2011 pukul 16.59
keren nih rumus" Matematika, love it
BalasHapus
Balasan
TEKCOMJAR18 Februari 2012 pukul 23.05
wah sangat bermanfa'at sebentar lagi saya ujian... makasih bos infonya... boleh donk mampir ke blog saya...
BLOG SAYA
BalasHapus
Balasan
omson26 September 2012 pukul 20.38
oke .... makasih atas komentarnya ... selamat mempelajari ...
BalasHapus
Balasan
irfan9 Desember 2012 pukul 14.35
soalnya gak da mas? kok cuma rumus doang!!
BalasHapus
Balasan