Logaritma

Definisi logaritma
Jika a^b = c maka b = ^alog c

Pada setiap bentuk ^alog c maka a disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan c disebut numerus. Basis harus positi, begitu juga dengan numerus. Akan tetapi ada sebuah tambahan, bahwa basis tidak boleh bernilai 1

Sift-sifat Logaritma
1. ^alog b + ^alog c = ^alog bc
2. ^alog b - ^alog c = ^alog b/c
3. ^alog bⁿ = n^alog b
4.
5.






Bukti sifat-sifat Logaritma :
nomor 1 :
a^x = b maka x =^alog b
a^y = c maka y =^alog c
Jika kedua ruas dikalikan maka diperoleh
a^x.a^y = bc
a^x+y = bc
x + y = ^alog bc
^alog b + ^alog c = ^alog bc

nomor 2:
Dari nomor 1 bisa diperoleh sebagai berikut :

a^x-y = b/c
x - y = ^alog (b/c)
^alog b - ^alog c = ^alog (b/c)

nomor 3 :
Dari sifat nomor 1
^alog b + ^alog b = ^alog b2
2^alog b = ^alog b2

dengan cara yang sama :
^alog b² + ^alog b = ^alog b².b
2^alog b + ^alog b = ^alog b³
3^alog b = ^alog b³

dengan cara yang sama juga:
^alog b³ + ^alog b = ^alog b³.b
3^alog b + ^alog b = ^alog b⁴
4^alog b = ^alog b⁴

dengan demikian bisa disimpulkan :
n^alog b = ^alog bⁿ
atau
^alog bⁿ = n^alog b

nomor 4 :
misal : ^alog b = x
maka b = a^x
Jika kedua ruas diberi logaritma dengan basis c maka
^clog b = ^clog a^x
dari sifat nomor 3 diperoleh
^clog b = x^clog a
maka

atau


nomor 5


nomor 6


nomor 7


nomor 8
Dari definisi diketahui
Jika a^b=c ..................(1)
maka b=^alog c ..............(2)

Dengan memasukkan c dari persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh
b=^alog a^b
atau
^alog a^b = b

nomor 9
Dari definisi logaritma diperoleh
Jika a^c=b ..................(1)
maka c=^alog b ..............(2)
Jika persamaan (20 dimasukkan ke persamaan pertama maka diperoleh


nomor 10
misal
Jika kedua ruas diberi logaritma dengan bilangan pokok b maka diperoleh




Jika kedua ruas dihilangkan logaritmanya maka

Dengan demikian

Persamaan kubik

Persamaan kubik memiliki bntuk umum
ax³ + bx² + cx + d = 0
dengan a tidak nol

Untuk menyelesaikan persamaan ini ada 3 cara yaitu :
1. memfaktorkan
2. menyederhanakan menjadi bentuk persamaan kuadrat
3. rumus

Penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan
Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan untuk kasus-kasu yang sederhana

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - 6x = 0

Jawab :

x³ - x² - 6x = 0
x(x² - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}

Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - x + 1 = 0

Jawab :
x³ - x² - x + 1 = 0
x² (x - 1) - (x - 1)= 0
x² - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}

Contoh 3 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 9x + 18 = 0

Jawab :
x³ - 2x² - 9x + 18 = 0
x²(x - 2) - 9(x - 2) = 0
(x² - 9)(x - 2) = 0
(x + 3)(x - 3)(x - 2) = 0
x = -3 atau x = 3 atau x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-3, 2, 3}


Contoh 4 :
Himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 3x + 6 = 0 adalah

Jawab :
x³ - 2x² - 3x + 6 = 0
x²(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x² - 3)(x - 2) = 0


Jadi himpunan penyelesaiannya adalah


Contoh 5 :

Himpunan penyelesaian dari 2x³ - x² + 4x - 2 = 0 adalah ...

Jawab :
2x³ - x² + 4x - 2 = 0
x²(2x - 1) + 2(2x - 1) = 0
(x² +2)(2x - 1) = 0
x² = -2 atau x = 1/2
x² = -2 tidak mungkin terjadi, jadi x yang memenuhi hanya 1/2, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1/2}


Penyelesaian gabungan antara pemfaktoran dan rumus ABC

Contoh 6
Himpunan penyelesaian dari persamaan x³ - 2x² - x = 0 adalah

Jawab :
x³ - 2x² - x = 0
x(x² - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x² - 2x - 1 = 0

Untuk bentuk x² - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC


Jadi himpunan penyelesaiannya adalah


Untuk bentuk bentuk yang sulit difaktorkan, tetapi akar-akarnya masih rasional maka kita bisa menggunakan metoda horner, sedangkan jika akar-akarnya irasional maka kita gunakan metoda penyelesaian umum yang mengubah persamaan kubik menjadi persamaan kuadrat

Metoda horner

Metoda horner merupakan metoda skematik dalam suku banyak. Pada bagian ini saya akan membahas metoda horner untuk menyelesaiakan persamaan kubik
Contoh :
Himpunan penyelesaian persamaan x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 adalah
Jawab :
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Jika kita bagi dengan x - 1 maka bisa kita kerjakan dengan metoda berikut :





Karena sisa = 0 maka persamaan bisa difaktorkan sebagai berikut :

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
x = 1 atau x = 2 atau x = 3
Jadi himpunan penyelesaiaannya adalah {1, 2, 3}