MATEMATIKA INDONESIA: 2012

Kamis, 15 November 2012

Soal-Soal Turunan

Materi ini adalah lanjutan dari sifat-sifat turunan

contoh 1
Turunan pertama dari fungsi f(x) = x cos x adalah .....

Jawab :
u = x maka u' = 1
v = cos x maka v' = -sin x
f(x) = x .cos x = u.v
maka
f '(x)= u'v + uv' = 1.cos x + x. (-sin x) = cos x - x sin x

Contoh 2
Turunan pertama dari f(x) = sin 2x adalah ....

Jawab :
f(x) = sin 2x = 2 sin x cos x
misal
u = 2 sin x maka u' = 2 cos x
v = cos x maka v' = - sin x

f'(x) = u'v + uv' = 2 cos x . cos x + 2 sin x (- sin x)
= 2 cos² x - 2 sin² x = 2 (cos² x - sin² x) = 2 cos 2x

Contoh 3 :
Tentukan turunan pertama dari
$f(x)=\frac{5x+2}{4x+3}$

Jawab :
u = 5x + 2 maka u' = 5
v = 4x + 3 maka v' = 4
$f(x)=\frac{5x+2}{4x+3}=\frac{u}{v}$
maka
$f '(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{5(4x+3)-(5x+2).4}{(4x+3)^{2}}$
$f '(x)=\frac{20x+15-20x-8}{(4x+3)^{2}}=\frac{7}{(4x+3)^{2}}$

Contoh 4 :
Tentukan turunan pertama dari
$f(x)=\frac{\sin x-2}{3\sin x +1}$

Jawab :
u = sin x - 2 maka u'=cos x
v = 3 sin x + 1 maka v' = 3 cos x

$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{\cos x(3\sin x+1)-(\sin x-2).3\cos x}{(3\sin x+1)^{2}}$
$f'(x)=\frac{3\sin x\cos x+\cos x-3\sin x\cos x+6\cos x}{(3\sin x+1)^{2}}=\frac{7\cos x}{(3\sin x+1)^{2}}$

Contoh 5
Jika f(x) = x² sin x cos x

Jawab :
u = x² maka u' = 2x
v = sin x cos x maka
v' = (sin x)' cos x + sin x (cos x)' = cos x.cos x + sin x(-sin x) = cos ² x-sin² x = cos 2x

f '(x)=u'v + uv' = 2x sin x cos x + x² cos 2x

Rabu, 17 Oktober 2012

Tabel Trigonometri Sudut Istimewa

Berikut ini adalah tabel trigonometri sudut istimewa. Untuk melihat pembuktiannya, silakan di klik disini.

Untuk lebih mengingatnya, dalam maka tabel bisa kita modifikasi sebagai berikut

Dari hasil modifikasi ini terlihat jelas bahwa nilai-nilai sinus terurut seperti bilangan cacah, mulai dari 0, 1, 2, 3 dan 4. Sedangkan nilai cosinus terurut seperti bilangan cacah yang menurun, mulai dari 4, 3, 2, 1 dan 0. Nilai tangen terlihat lebih teratur, dengan pembilang adalah bilangan cacah yang naik, sedangkan penyebut seperti bilangan cacah yang menurun

Jumat, 05 Oktober 2012

Sifat-sifat Turunan

Materi ini adalah lanjutan dari rumus-rumus turunan
Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'
2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'
3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'

5. $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Bukti :
Sifat 1
f(x) = u(x) + v(x)

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{u(x+h)+v(x+h)-\left [ u(x)+v(x) \right ]}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{u(x+h)-u(x)+v(x+h)-v(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$ $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$    $+\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$ $\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

f '(x) = u'(x) + v'(x)

Sifat 2 :

f(x) = u(x) - v(x)

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$      $\frac{u(x+h)-v(x+h)-\left [ u(x)-v(x) \right ]}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{u(x+h)-u(x)-\left [ v(x+h)-v(x) \right ]}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}-\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$ $-\left ( \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} \right$    $\left \frac{v(x+h)-v(x)}{h} \right )$

f '(x) = u'(x) - v'(x)

Sifat 3 :
f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$     $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$      $\frac{c.u(x+h)-c.u(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$ $c\left ( \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \right )$

$f'(x)= c\left ( \begin{matrix} lim\\h \to 0 \end{matrix} \right$    $\left \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \right )$
f '(x)=c.u'(x)

Sifat 4 :
f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$     $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$      $\frac{u(x+h).v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{u(x+h).v(x+h)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{\left [ u(x+h)-u(x) \right ]v(x+h)+u(x)\left [ v(x+h)-v(x) \right ]}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$    $\frac{\left [ u(x+h)-u(x) \right ]v(x+h)}{h} + \frac{\left u(x)\left [ v(x+h)-v(x) \right ]}{h}$

$f'(x)=\begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix}$ $\frac{\left [ u(x+h)-u(x) \right ]v(x+h)}{h}$ $+ \begin{matrix} lim\\h \to \ 0 \end{matrix}$ $\frac{\left u(x)\left [ v(x+h)-v(x) \right ]}{h}$

$f'(x)=\left ( \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} \right$ $\left \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \right )$ $\left ( \begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \ 0 \end{matrix} & v(x+h) \end{matrix} \right )$ $+u(x)\left ( \begin{matrix} lim\\h \to \ 0 \end{matrix} \right$ $\left \frac{v(x+h)-v(x)}{h} \right )$

$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Sifat 5

$\begin{matrix} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} &maka &f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \end{matrix}$

Karena
$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$
maka

$u(x)=f(x).v(x)$

sehingga

$u'(x)=f'(x).v(x)+f(x).v'(x)$

$f'(x).v(x)=u'(x)-f(x).v'(x)$

$f'(x)=\frac{u'(x)-f(x).v'(x)}{v(x)}$

$f'(x)=\frac{u'(x)-\frac{u(x)}{v(x)}.v'(x)}{v(x)}$
Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh

$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}$