MATEMATIKA INDONESIA: Bilangan Kompleks

Kamis, 20 September 2012

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk a + bi dengan a dan b bilangan real, sedangkan i dalah

$i=\sqrt{-1}$

a disebut bagian real, sedangkan b disebut bagian imajiner.
Operasi-operasi pada bilangan kompleks sebenarnya hampir sama dengan bilangan real. Kita bisa melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Untuk lebih jelasnya sekarang kita ambil contoh sebagai berikut :

Misalkan a = 5 + 3i dan b = 3 - 2i, tentukan nilai dari
1. a + b
2. a - b
3. a.b
4. a/b
5. a²
6. a³

Jawab :
1. a + b = 5 + 3i + 3 - 2i = 8 + i
2. a - b = (5 + 3i) - (3 - 2i) = 5 + 3i - 3 + 2i = 2 + 5i
3. ab = (5 + 3i)(3 - 2i) = 15 - 10i + 9i - 6i2 = 15 - i + 6 = 21 - i
5. $\frac{a}{b}=\frac{5+3i}{3-2i}=\left ( \frac{5+3i}{3-2i} \right )\left ( \frac{3+2i}{3+2i} \right )=\frac{15+10i+9i+6i^{2}}{9-4i^{2}}$

$\frac{a}{b}=\frac{15+19i-6}{9+4}=\frac{9+19i}{13}=\frac{9}{13}+\frac{19}{13}i$

6. a² = (5 + 3i)a² = 25 + 30i + 9ia² = 25 + 30i - 9 = 16 + 30i
7. a³ = a.a² = (5 + 3i)(16 + 30i) = 80 + 150i + 48i + 90ia² = 80 + 138i - 90 = - 10 + 138i

Untuk mempermudah dalam mempelajari bilangan kompleks maka kita perlu mempelajari diagram argand. Dengan menggunakan diagram argand ini maka bilangan kompleks akan bisa dijelaskan dalam bentuk gambar