MATEMATIKA INDONESIA: Turunan Logaritma Natural

Sabtu, 22 September 2012

Turunan Logaritma Natural

Sebelum mencari turunan logaritma natural maka kita harus mengingat bilangan natural e
Bilangan natural bisa didefinisikan sebagai berikut
$e=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\y \to \0 \end{matrix} & \left ( 1+y \right )^{\frac{1}{y}} \end{matrix}$

Nah, sekarang kita akan menurunkan fungsi f(x) = ln x
maka

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\ln(x+h)-\ln x}{h} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\ln \left ( \frac{x+h}{x} \right )}{h} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{\ln \left (1+ \frac{h}{x} \right )}{h} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \frac{1}{h}\ln \left ( 1+\frac{h}{x} \right ) \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\h \to \0 \end{matrix} & \ln \left ( 1+\frac{h}{x} \right )^{\frac{1}{h}} \end{matrix}$
sekarang misalkan y = h/x mska h = xy atau 1/h = 1/(xy)
Karena h ->0 maka y -> 0
Jadi

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\y \to \0 \end{matrix} & \ln \left ( 1+y \right )^{\frac{1}{xy}} \end{matrix}$

$f'(x)=\begin{matrix} \begin{matrix} lim\\y \to \0 \end{matrix} &\frac{1}{x} \ln \left ( 1+y \right )^{\frac{1}{y}} \end{matrix}$

$f'(x)=\frac{1}{x}\left ( \begin{matrix} \begin{matrix} lim\\ y \to \0 \end{matrix} & \ln \left ( 1+y \right )^{\frac{1}{y}} \end{matrix} \right )$

$f'(x)=\frac{1}{x}\ln \left ( \begin{matrix} \begin{matrix} lim\\y \to \0 \end{matrix} & \left ( 1+y \right )^{\frac{1}{y}} \end{matrix} \right )$

$f'(x)=\frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x}.1=\frac{1}{x}$

Jadi turunan dari f(x) = ln x adalah

$f'(x)=\frac{1}{x}$

Pembahasan selanjutnya adalah turunan logaritma natural 2
Pada bagian 2 akan dilengkapi dengan contoh-contoh
Selamat belajar