MATEMATIKA INDONESIA: Turunan Logaritma Natural 2

Rabu, 26 September 2012

Turunan Logaritma Natural 2

Bab Turunan logaritma natural ini merupakan lanjutan dari bilangan natural. Berikut ini saya berikan contoh-contoh turunan dari logaritma natural.
Aturan rantai bisa dipakai pada logaritma natural ini, jadi

$y=\ln f(x) \rightarrow y' = \frac{1}{f(x)}.f'(x)$

Contoh 1 :
Tentukan turunan pertama dari y = ln (8x +1)

Jawab :

$y' = \frac{1}{8x+1}.8=\frac{8}{8x+1}$

Contoh 2 :
Tentukan turunan pertama dari y = ln 9x adalah ....

Jawab :
Cara I :
$y' = \frac{1}{9x}.9=\frac{1}{x}$

Cara II
y = ln 9x = ln 9 + ln x
maka
$y' = 0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}$
(ln 9 adalah konstanta, jadi turunannya = 0)

Contoh 3 :
Turunan pertama dari y = ln sin x adalah ...

Jawab :
$y' = \frac{1}{\sin x}.cosx=\cot x$

Contoh 4 :
Turunan pertama dari y = ln cos x adalah ...

Jawab :
$y' = \frac{1}{\cos x}.(-\sin x)=-\tan x$

Contoh 5 :
Jika y = ln sec x maka dy/dx = ....

Jawab :
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec x}.\sec x.\tan x =\tan x$

Contoh 6 :

Jika y = ln csc x maka dy/dx = ...

Jawab :
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\csc x}.(-\csc x).\cot x =-\cot x$

Contoh 7 :
Jika f(x) = ln (sec x + tan x) maka f '(x) = ...

Jawab :
$f'(x) = \frac{1}{\sec x+ \tan x}.(\sec x.\tan x +\sec^{2}x)$

$f'(x) = =\frac{\sec x(\sec x+ \tan x)}{\sec x+ \tan x}=\sec x$

Contoh 8 :
Jika f(x) = ln (csc x + cot x) maka df/dx = ...

Jawab :

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{\csc x+ \cot x}.(-\csc x.\cot x -\csc^{2}x)$

$\frac{df}{dx} = \frac{-\csc x(\csc x+ \cot x)}{\csc x+ \cot x}=-\csc x$

Contoh 9 :
Tentukan turunan pertama dari
$f(x)=\ln\left ( tan\frac{1}{2}x \right )$

Jawab :
$f'(x)=\frac{1}{tan\left ( \frac{1}{2} x\right )}.\sec^{2}\left ( \frac{1}{2}x \right ).\frac{1}{2}=\frac{cos\left ( \frac{1}{2}x \right )}{\sin \frac{1}{2}x}.\frac{1}{\cos^{2}x}.\frac{1}{2}$

$f'(x)=\frac{1}{2\sin \left ( \frac{1}{2}x \right )\cos \left ( \frac{1}{2}x \right )}=\frac{1}{\sin x}=\csc x$

Contoh 10 :
Tentukan turunan pertama dari
$y=\ln\left ( \cot \frac{1}{2}x\right )$

Jawab :
$y'=\frac{1}{cot\frac{1}{2}x}.\left ( -csc^{2}\frac{1}{2}x \right ).\frac{1}{2}=-\frac{sin\frac{1}{2}x}{\cos \frac{1}{2}x}.\frac{1}{\sin ^{2}\frac{1}{2}x}.\frac{1}{2}$
$y'=-\frac{1}{2\sin \frac{1}{2}x\cos \frac{1}{2}x}=-\frac{1}{\sin x}=-\csc x$

Contoh 11 :
Turunan pertama dari
$f(x)=ln\left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )$
adalah ...

Jawab :
$f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\left ( 1+\frac{1}{2}\left ( x^{2}+1 \right )^{-\frac{1}{2}.}.2x \right )$

$f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\left ( 1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \right )=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\left ( \frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}} \right )$

$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$