Rumus De Moivre

Seperti kita ketahui bahwa jika z₁ = r₁ (cos t₁ + i sin t₁) dan z₂ = r₂ (cos t₂ + i sin t₂) 
maka z₁z₂ = r₁r₂ (cos(t₁ + t₂) + i sin (t₁ + t₂))  ..............................(1)

Jika 
r₁  = r₂ = r
t₁  = t₂ = t
maka 
z₁ = z₂ = z = r(cos t + i sin t) maka persamaan (1) menjadi

z² = r²(cos 2t  + i sin 2t)

Sekarang bagaimana dengan z³ ?
misalkan kita memiliki z₃ = r₃ (cos t₃ + i sin t₃) maka
Berdasarkan persamaan (1), jika z² kita kalikan dengan z₃ maka kita peroleh
z³z₃ = r³.r₃(cos(2t + t₃) + i sin (2t + t₃)) ....................................(2)

Jika r₃ = r dan t₃ = t maka z₃ = z sehingga persamaan (2) akan menjadi
z² = r³(cos 3t  + i sin 3t)

Dengan cara yang sama akan kita peroleh
z² = r⁴(cos 4t  + i sin 4t)
z⁵ = r⁵(cos 5t  + i sin 5t)
dan seterusnya
Jadi bisa diambil kesimpulan bahwa

Jika z = r(cos t + i sin t) maka zⁿ = rⁿ(cos nt  + i sin nt)


Jika t kita ganti dengan -t maka
z = r(cos (-t) + i sin (-t)) = r(cos t - i sin t)
dan   zⁿ = rⁿ(cos (-nt)  + i sin (-nt)) =  rⁿ(cos nt  - i sin nt)

Rumus de Moivre
Jika z = r(cos t + i sin t) maka zⁿ = rⁿ(cos nt  + i sin nt)
Jika z = r(cos t - i sin t) maka zⁿ = rⁿ(cos nt  - i sin nt)


Contoh 1
Jika z = 1 + i maka z¹⁰ = .....

Jawab :


maka t = 45^o
sehingga


maka


Contoh 2 
Jika z² = 1 maka z = ....

Jawab :
z² bisa dinyatakan dalam bentuk
z² = cos 0^o + i sin 0^o atau z² = cos 360^o + i sin 360^{o
dengan memakai rumus de moivre maka kita peroleh}
z = cos 0^o + i sin 0^o atau z = cos 180^o + i sin 180<sup>o
z = 1 + 0 atau z = -1 + 0
z = 1 atau z = -1

Sebenarnya dengan analisis yang sudah biasa kita pakai, maka z2 akan ada 2 kemungkinan yaitu 1 atau -1. Akan tetapi dengan menggunakan rumus de moivre ini maka untuk pangkat yang lebih besar akan jauh lebih mudah. Sekarang kita coba untuk z3

Contoh 3</sup>
Jika z³ = 1 maka z = ...

Jawab :
z³ bisa kita nyatakan dalam bentuk
<sup>z3 = cos 0o + i sin 0o atau z3 = cos 360o + i sin 360o atau z3 = cos cos 720o + i sin 720o
Dengan memakai rumus de moivre maka kita peroleh
z₁ = cos 0o + i sin 0o atau z₂ = cos 120o + i sin 120o atau z₃ = cos 240o + i sin 240o




Cara II
z3  - 1 = 0
(z - 1)(z2 + z + 1) = 0
z = 1 atau z2 + z + 1 = 0
dengan memakai rumus ABC maka kita peroleh</sup>