MATEMATIKA INDONESIA: Sudut Istimewa Dalam Trigonometri

Sabtu, 29 September 2012

Sudut Istimewa Dalam Trigonometri

Materi ini adalah lanjutan dari fungsi trigonometri.
Dalam trigonometri, ada sudut-sudut yang dikatakan sudut istimewa. Sudut Istimewa dalam trigonometri tersebut adalah 0^o, 30^o, 45^o, 60^o dan 90^o
Marilah kita hitung nilai sinus, cosinus, dan tangen dari sudut istimewa ini

Untuk sudut 45^o

Segitiga siku-siku yang memiliki sudut 45^o pastila memiliki sudut-sudut 45^o, 90^o dan 45^o, sehingga merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Jadi kedua sisi siku-sikunya pasti sama, dan kita pilih besarnya 1. Dari sini kita bisa memperoleh sisi miring sebesar
$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

Dari gambar bisa disimpulkan
$\sin\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\tan\alpha =\frac{1}{1}=1$

Untuk sudut 60^o

Pada segitiga sama sisi, ketiga sudutnya masing-masing adalah 60^o. Ketiga sisinya sama dan kita pilih besarnya 2. Segitiga ini sekarang kita belah 2 sama secara vertikal, sehingga alasnya terbagi 2 sama, masing-masing panjangnya 1. Dari sini kita peroleh dua buah segitiga siku-siku. Dengan memakai rumus pythagoras kita bisa memperoleh tinggi segitiga, yaitu
$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$

Dari segitiga siku-siku sebelah kiri, kita bisa menentukan sin 60^o, cos 60^o, dan tan 60^o yaitu :
$\sin60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\cos60^{o}=\frac{1}{2}$

$\tan 60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$

Untuk sudut 30^o
Dari segitiga sama sisi di atas, sekarang kita ambil bagian kanan (warna kuning) dan kita putar 90^o berlawanan arah jarum jam, sehingga kita peroleh sebagai berikut :

Dari gambar kita bisa memperoleh nilai sinus 30^o, cos 30^o dan tan 30^o
$\sin 30^{o}=\frac{1}{2}$

$\cos 30^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\tan 30^{o}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Untuk mempermudah mengingat hasil pembuktian ini maka dudut-sudut istimewa ini kita susun dalam tabel trigonometri.